. Compito
15.05.03 - Classe 3d - IPERBOLI
1)
E’ dato il fascio di coniche
.
prima
di tutto l’insieme dei grafici (non richiesto ma elegante: è ottenuto
mediante il derive con valori di k da –29,1 a 29,1 con passo 0,2 in modo da
non ottenere i valori interi che non sono disegnabile e bloccano la costruzione
del grafico
a.
Discuti il fascio (determina cioè i valori di k per i quali non ottieni
coniche e i valori di k per cui ottieni coniche,
non
abbiamo curve reali per
mentre per k<1 e k>3 abbiamo
ellissi o iperboli
b.
per tali valori determina i valori di k per cui ottieni ellissi o
iperboli.
precisamente
per k>3 e –3<k<1 iperboli e per k<-3 ellissi
c.
Per le ellissi determina i valori per cui ottieni ellissi con asse focale
x e i valori per cui ottieni asse focale y. Il valore per il quale l’ellisse
degenera in una circonferenza
per
ellissi con asse focale x, per quel
valore di k una circonferenza, da quel valore a –3 asse facale y.
d.
Per le iperboli quelle con asse trasverso x e quelle con asse trasverso y
e le iperboli equilatere
tra
–3 e 1 l’asse trasverso è l’asse y; dopo 3 è l’asse x. Le iperboli
equilatere per
che approsimati
valgono
quindi il primo valore
rappresenta un’iperbole equilatera con asse trasverso x e la seconda con asse
trasverso y.
Nel
grafico che segue sono rappresentate le due iperboli equilatere e la
circonferenza
E’ interessante osservare che le due iperboli equilatere pur avendo ovviamente gli stessi asintoti non sono ‘uguali’ (lo possiamo vedere dalle fette diverse tagliate dalla circonferenza)
2)
con riferimento al problema precedente determina le iperboli che abbiano
come asintoti le rette
e disegnale (nello stesso piano cartesiano)
basta
porre
e
otteniamo k = -1 e k =5
rispettivamente
le due iperboli
e
i cui grafici sono sotto
3)
E’ data l’iperbole di equazione
.
a.
determina centro, vertici e asintoti e fanne il grafico.
b.
considera il fascio di rette
e deduci graficamente per quali valori di m le rette del fascio sono
secanti e per quali valori sono esterne
c.
deduci sempre dal grafico cosa puoi dire riguardo alle rette tangenti,
verifica algebricamente quanto affermato.
il
centro è (2,3), i vertici (0,3) e
(4,3) quelli ‘virtuali’ (2,0) e (2,6). Gli asintoti hanno equazioni y = 3/2
x e y = -3/2 x + 6. Le rette del
fascio dato sono secanti per m < 3/2 . infatti risolvendo algebricamente il
delta /4 >0 fornisce m <3/2.
L’unico valore di tangenza è per m = 3/2 ma il punto di tangenza è
all’infinito. L’altra retta tangente è per x=0 ma la retta non fa parte del
fascio dato.
4)
E’ data l’iperbole equilatera
e il fascio di rette
. Discuti le posizioni relative tra iperbole e retta al variare di m e
interpreta la soluzione ottenuta.
il
fascio in questione è un fascio di rette passante per (4,1/2) questo punto è
sull’iperbole quindi tutte le rette sono secanti escluso quella per m= -1/8
che è tangente (è la retta y=-1/8x+1) come dal grafico vediamo
.